第11课时  14．3.1　提公因式法

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教学目标

1.了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系．

2.能正确找出多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式．

3.通过类比、归纳，能利用因式分解的思想简化计算．

预习反馈

阅读教材P114～115内容，完成下列问题．

如图，泾川二中校园面积，被分成三部分，你能用不同的方式表示它们的面积吗？

方法一：m(a+b+c)

方法二：ma+mb+mc

 

1.运用整式乘法法则或公式填空：

(1)m(a+b+c)=       ；

(2) (x+1)(x-1)=      ；

(3) x(x+1)=        ；

2.根据等式的性质填空：

(1) ma+mb+mc=(      )(            )

(2) x2 -1 =(        )(         )

(3) x2+x=x(x+1)

上面我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.

基础过关：辨一辨:下列各式从左到右的变形，哪些题是因式分解?

（1）4a(a＋2b)＝4a2＋8ab          

（2）6ax－3ax2＝3ax(2－x）                 

（3）a2－4＝(a＋2)(a－2)

（4）x2－3x＋2＝x(x－3)＋2．

（5）36a2b=3a ·12ab

ma+mb+mc，它的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的      。

 

一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将这个多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做             .

 把8a3b2 + 12ab3c 分解因式.

 

找一找:下列各多项式的公因式是什么？

(1) 3x+6y

(2) ab-2ac

(3) a 2-a 3

(4) 4(m+n) 2 +2(m+n)

(5) 9m 2n-6mn

(6) -6x 2y-8xy 2

 把 2a(b+c) -3(b+c)分解因式.

          判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?

          (1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y)；

           (2) 2x(x－3y)=2x2－6xy

           (3) (5a－1)2=25a2－10a+1 ；

           (4) x2+4x+4=(x+2)2 ；

           (5) (a－3)(a+3)=a2－9

           (6) m2－4=(m+2)(m－2) ；

           (7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r).

（1）ax+ay               （2） 3mx-6my      

（3） -8m2n+2mn        （4）12xyz-9x2y2      

（5）   p(a2-b2)-q(a2-b2)

（6）   2a(y-z)-3b(z-y)       

（1）先分解因式,再求值:

          4a2(x+7)-3(x+7),其中a=-5,x=3.

 

 

（2）计算：5×34+4×    +9×32

 

 

知识点1　因式分解的定义

1．利用整式的乘法计算：

(1)x(x＋1)＝      ；(2)(x＋1)(x－1)＝         ；(3)m(a＋b＋c)＝        ．

2．把下列多项式写成整式的积的形式：

(1)x²＋x＝        ；(2)x²－1＝         ；(3)ma＋mb＋mc＝        ．

3．把一个多项式化成几个整式的   的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解(或分解因式)．

【点拨】　整式的乘法与因式分解是两种互逆的变形，整式乘法的结果是和差，因式分解的结果是积．

知识点2　公因式

各项都含有的一个     的因式叫做这个多项式各项的公因式．如：

(1)多项式2x²＋6x³中各项的公因式是      ；

(2)多项式x(a－3)＋y(a－3)²中各项的公因式是       ．

知识点3　运用提公因式法分解因式

一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个      提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的    的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．如：把多项式a²－4a分解因式，结果是       ．

名校讲坛

例1　(教材补充例题)下列各式从左到右的变形是因式分解的是(   )

A．a²－a(1)＝a(a－a2(1))

B．(a－3)(a＋1)＝a²－2a－3

C．a²－ab＝a(a－b)

D．6a²b＝3ab·2a

【方法归纳】　判断因式分解注意：(1)必须是整式；(2)等号右边必须是乘积的形式；(3)必须是恒等式．

例2　(教材P115例1、例2变式)把下列各式分解因式：

(1)－3ax³＋12ax²－15ax；

 

 

 

(2)2m(m－n)³＋6(n－m)².

 

 

 

【点拨】 (1)各项系数的最大公约数为3，相同字母为a，x，最低次数均为1.由于首项－3ax³的系数为－3，一般取公因式－3ax；(2)含有多项式m－n与n－m的乘方，由于(n－m)²＝(m－n)²，所以把m－n看成一个整体，得到各项的公因式为2(m－n)².

【方法归纳】　用提公因式法分解因式的“四步法”：

(1)确定公因式；

(2)把多项式的每一项都写成含有公因式的乘积的形式；

(3)把公因式提到括号前，把每一项除以公因式外的因式放到括号内，并进行合并同类项；

(4)检查提公因式后的因式里面是否还有公因式，是否存在漏项的情况．

【跟踪训练1】　把下列各式分解因式：

(1)xy³－xy²； (2)(x＋y)²－3(x＋y)．

 

 

巩固训练

1.(自贡中考)多项式a²－4a分解因式，结果正确的是(  )

A．a(a－4)        B．(a＋2)(a－2)

C．a(a＋2)(a－2)  D．(a－2)²－4

2.把2(a－3)＋a(3－a)提取公因式a－3后，另一个因式为(  )

A．2－a   B．a＋2   C．a－2   D．－2－a

3.分解因式：6a²b－12ab²＋3ab³＝        ．

4.已知a＋b＝3，ab＝2，则a²b＋ab²＝    ．

5.分解因式：

(1)5a－10ab；　(2)6p(p＋q)－4q(p＋q)；

 

 

 

 

(3)4a²－12ab；　(4)2mx－6my；

 

 

 

(5) －3x²＋6xy－9xz；

 

 

 

 

(6)4m²n³－2m³n³＋6mn².

 

 

 

课堂小结

1.因式分解的意义及其概念．

2.因式分解与整式乘法的联系与区别．

3.公因式及提公因式法．

4．提公因式法因式分解中应注意的问题.

课后反思：